前言
随着中美贸易战的打响，中国的经济亟需转型，尤其以工业经济结构为代表，这就要求我们的制造业加快向着高科技、高附加值方向发展。一方面，人们对高精度、高质量光电产品的需求日益提高，另一方面，这些光电产品也逐步向着微型化的方向发展。而近年来，热度一直很高的自由曲面由于在这些领域的出色表现，越来越受到光学设计人员的青睐，自由曲面光学设计在现代光电产品中的应用也随之日益广泛。[1]
由于超精密加工技术和精密模压注塑成型技术的飞速发展，光学组件的设计与制造有了更多的自由度和灵活性，这就使得光学自由曲面的加工成为可能，光学自由曲面也为传统光学注入了新的活力，从而成为一门伴随光电信息技术迅速发展而形成的新兴光学应用技术学科[1]。
一、何为自由曲面？
一言以概之：非旋转非对称，面型自由[2]。笔者私以为，与最佳拟合球体（BFS）偏差较大的离轴双非球面乃自由曲面。[3]
二、自由曲面的特点
和传统球面光学相比较，自由曲面光学具有以下特点：
突破传统光学成像的概念，根据现代光电信息技术对信息发送、接收、转换、传递与存储功能的特殊需要，光学面型可有非对称、不规则、复杂的自由曲面随意组合而成[1]。
突破传统光学加工方法的概念，采用先进的数控超精密制造技术，直接加工出自由曲面光学面，被加工面可以达到亚微米量级面型精度与纳米量级表面粗糙度。
突破传统光学玻璃材料的概念，采用光学塑料等新材料技术，大批量生产光学组件。
三、自由曲面设计的优点
1.通过使用自由曲面这种非常紧凑的设计，可以实现更小的空间包络，使得重量更轻。
2. 可以减少光学表面的数量，因而增加产量。
3. 可以减少几何像差，通过平衡和控制，更好地改善光学性能（图像质量，景深，视场等）。
4.若系统具有偏心瞳孔或用于离轴，自由形式优于旋转对称的光学表面。
5.可以进行定制优化，例如， 整体空间包络可以在一个方向上伸长，而在另一个方向上它可以保持狭窄，或者可以使用倾斜/偏心的部件使得像差得到平衡。r
四、常见自由曲面面型
1.超环面
这是以球面或非球面曲线作为母线绕一条回转轴旋转形成的曲面，回转轴在母线所在的平面内，并垂直于母线的对称轴。超环面的一个特例是非球面柱面镜，它只在y方向才有非球面系数，回转半径为无限大。
2.双锥度系数曲面
这是光学设计软件Zenax设计自由曲面时经常使用的面型，曲面在两个垂直方向即x和y方向的曲率半径不同，锥度系数也不同。双锥度系数曲面在激光打印机和激光扫描仪的f-θ透镜中用得比较多。
3.不对称非球面
这种变形非球面在垂直的两个方向上即x和y向上的非球面系数是不一样的。它的参数定义为：x曲率/x半径（CUX/RDX）,y曲率/y半径（CUY/RDY），x锥度系数，y锥度系数，4-10阶旋转对称系数（AR、BR、CR、DR），4-10阶非对称系数（AP、BP、CP、DP）
4.微结构数组
微结构数组包括微透镜数组、微菲涅尔透镜数组、微棱镜数组、微柱镜数组、V-槽数组等。微透镜数组的应用比较广泛，在照明系统中经常用于提高照明均匀度，如手机背光源中的导光板、数码投影仪中的光引擎、汽车灯具中的灯罩（配光镜）等。微透镜数组在光通信系统中经常用于光纤束的准直和聚焦，如自由空间光交叉连接器、光开关等。在生物学系统中微透镜数组也有应用，如生物芯片测试系统中用微透镜数组代替传统的共焦荧光系统，可以大大地缩小测试仪器的体积。
5.参数向量表示的任何形状的自由曲面
这种曲面包括xy多项式自由曲面、贝塞尔曲面、B样条曲面等。早在20世纪60年代，B样条曲线曲面被引入飞机和汽车行业中。在多种B样条曲线曲面中，NURBS方法曾被认为是统一表示自由型曲线曲面的国际标准形式。现在在光学成像系统和照明系统中，也引入了B样条曲线曲面来表示任意形状的自由曲面，微光学领域开拓了宽阔的背景。
五、自由曲面的表征曲线曲面
1.贝塞尔曲线
贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
贝塞尔线性公式：给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：
且其等同于线性插值。
贝塞尔二次方公式：二次方贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：
TrueType字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝兹曲线。
贝塞尔一般参数公式：阶贝兹曲线可如下推断。给定点P0、P1、…、Pn，其贝兹曲线即：
如上公式可如下递归表达： 用表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝兹曲线。用平常话来说，阶的贝兹曲线，即双阶贝兹曲线之间的插值。
2.B样条曲线
B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样条（NURBS），使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。
B样条曲线曲面具有几何不变性、凸包性、保凸性、变差减小性、局部支撑性等许多优良性质，是目前CAD系统常用的几何表示方法，因而基于测量数据的参数化和B样条曲面重建是反求工程的研究热点和关键技术之一。
定义：已知n+1个控制点Pi(i=0,1,2,...,n),可定义k次B样条曲线的表达式为P(u)=∑(n,i=0）PiNi,k（u)
3.NURBS曲线
NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写，是非均匀有理B样条的意思。具体解释是：
B-Spline(B样条）：是指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内插值替换的。
简单地说，NURBS就是专门做曲面物体的一种造型方法。NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的，所以要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。就是因为这一特点，我们可以用它做出各种复杂的曲面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤，面貌或流线型的跑车等。+
4.NURBS曲面
精炼一条NURBS曲线的方法是在上面加更多的可控点。精炼能更精细地控制曲线。当在3DMAX里精炼一条曲线的时候，软件会保持原始的曲率（从技术上说，它保持着统一的节点矢量）。换句话说，曲线的形状不会改变，但是相邻的可控点会从新加的可控点那里移开。
NURBS曲面与NURBS曲线本质上有一样的属性。
六、自由曲面的相关应用
NASA已经完成了应用自由曲面的空间相机设计、论证工作，进入工程化研制的红外光谱成像仪也采用了自由曲面。Leica 公司研制的新型 TMA 相机也采用了自由曲面全视场波像差提高到1/20 λRMS。清华大学设计了自由曲面无像散光谱仪，浙江大学设计了自由曲面近距投影仪，北京理工大学设计了自由曲面头盔显示器等。中科院长春光机所的张新等人，在 2012 年自由曲面空间光学系统设计研究工作中，用 Zernike 多项式表述的自由曲面设计多光谱相机。[5]
1.自由曲面后视镜
美国德雷塞尔大学的 R.Hicks 采用求解偏微分方程的方法设计了一款自由曲面后视镜，它不但可以可以扩大驾驶者的后方视野，还可解决后视镜产生的畸变问题，使得驾驶者可正确判断距离。[6]
2.超短焦投影
短焦投影技术主要是利用短焦镜头在只有几十厘米的投影距离上将图像投影出几倍于投影距离大小的画面。研究人员采用了自由度更高的自由曲面反射镜进行设计，首先将图像投射到自由曲面反射镜上，再投影到屏幕，通过利用自由曲面反射镜，不但缩短了投影距离，且提高了投影质量。[6]
3.头盔显示器
浙江大学设计的一款穿透式头盔显示器，它为折反射系统，且具有离轴结构，并采用了 XY多项式表征的自由曲面校正非旋转对称系统产生的像差，得到了良好的成像质量[7]
4.自由曲面照明设计
在照明系统设计中，采用自由曲面进行设计可有效的实现对光源的二次配光，得到所需要的照明光斑，同时提高能量利用率。采用光学自由曲面进行 LED 的二次配光设计，则得到了与路面吻合且能量分布均匀的矩形光斑，该种设计可有效减少路灯的使用数量，同时提高能量利用率。[6]
总结
自由曲面的应用，是的光学成像系统的成像质量大大提高，光学照明和信息传输系统的照明均匀性和能量传输效率大大提高。各种变形透镜、棱镜与反光镜是的系统的空间布局灵活性增加，系统光路大大压缩，系统的轻量化更容易实现，产品的结构性能得以优化。同时，自由曲面光学元件采取大批量生产工艺，大大降低了产品的成本，因此自由曲面光学产品极大地扩展了应用的空间，市场需求也获得急速增长。[1]
引用
[1] 李荣彬, 杜雪, 张志辉. Design, machining and measurement technologies of ultra-precision freeform optics[M]. 机械工业出版社, 2015.
[2] Tibor Agócs, "Comparison of optical design methods of freeform surfaces for imaging applications," Proc. SPIE 9626, Optical Systems Design 2015: Optical Design and Engineering VI, 962637 (23 September 2015);
[3] Murray, Ian B. "Optimizing reflective systems using aspheric and freeform surfaces." International Optical Design Conference 2017. Vol. 10590. International Society for Optics and Photonics, 2017.
[4Ma, Bin, et al. "Applying slope constrained Q-type aspheres to develop higher performance lenses." Optics express 19.22 (2011): 21174-21179.]
[5]胡海翔. 空间光学自由曲面应用的关键技术研究[D].中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,2017.
[6]李闯. 基于Q-type多项式的自由曲面表征函数及其在成像光学系统中的应用研究[D].长春理工大学,2017.
[7]Hicks RA. Controlling a ray bundle with a free-form reflector. Optics letters, 2008, 33(15): 1672～1674
大口径光学反射镜的制造过程
如果把光学望远镜比作人类的“千里眼”，那么光学望远镜中的主反射镜就可以称之为“眼角膜”。主反射镜的口径越大就意味着光学望远镜的空间分辨率就会越高。通俗的说就是会....
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