高斯光束的传输理论
发布时间：2007-09-27 来源：统计整理 阅读次数：4155 分享到：
谐振腔中产生的激光束在空间以高斯光束的形式传播。在许多实际应用中（如印刷制版和印刷工艺中）需要利用光学系统对激光束进行变换，如聚焦、准直与匹配等。
设束腰半径为W0的高斯光束投射在焦距为f＇的薄透镜上，束腰与透镜的距离为L，高斯光束的传输轴线与透镜光轴一致，可以证明，高斯光束经过薄透镜变换后仍为高斯光束（见图18－9）。
图18－9
若已知入射高斯光束的束腰半径为W0，束腰与透镜的距离为L，透镜焦距为f＇，则可求出射高斯光束束腰半径W＇0及其与透镜的距离L＇为：（证明略）
1／W＇20=1/W20(1-L/f＇)+1/f＇2(πW0/λ)2 (18-22)
L＇=f＇+(L-f＇)f＇2/(L/f＇)2+(πW20/λ)2 (18-23)
这是确定入射高斯光束与出射高斯光束经透镜变换后的基本关系式。
这是激光器实际应用中提出的一个重要问题。所谓聚焦，就是适当选用光学系统，以确定出射高斯光束W＇0的大小和位置（L＇），使实现W＇0＜W0。
1．当f＇一定时，W＇0随L的变化而变化。由式（18－22）可知：
（1）当L＜f＇时，W＇20随L的减小而减小，因而当L＝0即束腰W0在透镜上，无论透镜焦距f＇为多大，总有W＇0＜W0，即有聚焦作用。且L＇＜f＇。
当f＇＜＜πW20/λ 有W＇0≈λ／πW0f，L＇≈f＇（18－24）
即束腰W＇0处在透镜焦面上，且透镜的焦距f＇愈小，W＇0愈小，聚焦效果愈好。
（2）当L＞f＇时，W＇0随L增大而减小。当满足条件L＞＞πW20/λ ，则有W＇0≈f＇／LW0（18－25）
可见 L愈大，f＇愈小，聚焦效果愈好。
（3）当L＝f＇时，W＇0达到极大值。由（18－22）式可得
W＇0＝λ／πW0f＇ （18－26）
且有L＇=f＇，仅当f＇＜πW20／λ时，透镜才有聚焦作用。
图18－10
f＇一定时，W＇0随L的变化曲线如图18－10所示。从图中可以看出，不论L值为多大，只要满足条件 f＇＜πW20／λ（18－27）
可实现W＇0＜W0，即有聚焦作用。
2．L一定时，W＇0随f＇而变化的情况。当W0和L一定时，按（18－22）式，W＇0随f＇而变化的情况大体如图18－11所示。从图中可以看出，对一定的L值，只有当其焦距f＇＜R（L）／2时，透镜才能对高斯光束起聚焦作用，f＇愈小，聚焦效果愈好。图中R（L）表示高斯光束到达透镜表面上的波阵面的曲率半径。
总之，为使高斯光束获得良好聚焦，通常采用短焦距透镜，使高斯光束束腰远离透镜焦点或采取L＝0等方法。
图18－11
在许多实际应用中经常需用光学系统来改善光束的方向性，即要压缩光束的发散角。这就是所谓的准直。
1．单透镜对高斯光束的准直。按（18－16）式，腰斑大小为W0的物高斯光束的发散角为：
2θ=2λ/πW0 （18－28）
通过焦距为f＇的透镜后，像高斯光束的发散角为：
2θ＇=2λ/πW＇0 (18-29)
由（18－28）和（18－29）式看出，当W＇0＞W0时将有2θ＇＜2θ，因此W＇0愈大，则2θ＇愈小，有较好准直效果。
根据（18－26）式可知，当L＝f＇时，W＇0达到极大值，则：
W＇0＝λ/πW0f＇ （18－30）
此时 2θ＇=2λ/πW＇0=2W0/f＇（18－1）
由上式可知，当透镜的焦距f＇一定时，若入射高斯光束的束腰处在透镜前焦面上（L＝f＇），则2θ＇达到极小，且f＇愈大，即透镜焦距愈长，2θ＇愈小，准直效果愈好。同时也与W0的大小有关，W0愈小，则像高斯光束方向性愈好。
2．利用望远镜将高斯光束准直。从（18－31）式可得到启示：在L＝f＇的条件下，像高斯光束的方向性不但与f＇的大小有关，而且也与W0的大小有关。f＇愈长，W0愈小，则像高斯光束方向性愈好。因此，如果预先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，以便获得极小腰斑，然后再用一个长焦距的透镜来改善其方向性就可获得很好的准直效果。
按图18－12所示方式组合为一望远镜系统，只不过倒装使用而已。图中L1为一短焦距透镜（称为副镜），高斯光束通过它获得一极小腰斑（W＇0）正好落在长焦距透镜L2（称为主镜）的前焦面上，所以腰斑为W＇0的高斯光束将被L2很好地准直。
其准直倍率可定义为：
M＇=2θ/2θ＂=M(1+(λL/πW02)2)1/2 （18－32）
其中M=f2＇f1＇称望远镜的压缩比。
从（18－32）式可知，望远镜对高斯光束的准直倍率M＇不仅与望远镜本身结构参数有关，而且还与入射高斯光束的W0、L有关。
实际的准直望远镜可以做成透射式、反射式或折－反射式，其基本工作原理都是一样的。
图18－12
一、高斯光束通过薄透镜时的变换
设束腰半径为W0的高斯光束投射在焦距为f＇的薄透镜上，束腰与透镜的距离为L，高斯光束的传输轴线与透镜光轴一致，可以证明，高斯光束经过薄透镜变换后仍为高斯光束（见图18－9）。
图18－9
若已知入射高斯光束的束腰半径为W0，束腰与透镜的距离为L，透镜焦距为f＇，则可求出射高斯光束束腰半径W＇0及其与透镜的距离L＇为：（证明略）
1／W＇20=1/W20(1-L/f＇)+1/f＇2(πW0/λ)2 (18-22)
L＇=f＇+(L-f＇)f＇2/(L/f＇)2+(πW20/λ)2 (18-23)
这是确定入射高斯光束与出射高斯光束经透镜变换后的基本关系式。
二、高斯光束的聚焦
这是激光器实际应用中提出的一个重要问题。所谓聚焦，就是适当选用光学系统，以确定出射高斯光束W＇0的大小和位置（L＇），使实现W＇0＜W0。
1．当f＇一定时，W＇0随L的变化而变化。由式（18－22）可知：
（1）当L＜f＇时，W＇20随L的减小而减小，因而当L＝0即束腰W0在透镜上，无论透镜焦距f＇为多大，总有W＇0＜W0，即有聚焦作用。且L＇＜f＇。
当f＇＜＜πW20/λ 有W＇0≈λ／πW0f，L＇≈f＇（18－24）
即束腰W＇0处在透镜焦面上，且透镜的焦距f＇愈小，W＇0愈小，聚焦效果愈好。
（2）当L＞f＇时，W＇0随L增大而减小。当满足条件L＞＞πW20/λ ，则有W＇0≈f＇／LW0（18－25）
可见 L愈大，f＇愈小，聚焦效果愈好。
（3）当L＝f＇时，W＇0达到极大值。由（18－22）式可得
W＇0＝λ／πW0f＇ （18－26）
且有L＇=f＇，仅当f＇＜πW20／λ时，透镜才有聚焦作用。
图18－10
f＇一定时，W＇0随L的变化曲线如图18－10所示。从图中可以看出，不论L值为多大，只要满足条件 f＇＜πW20／λ（18－27）
可实现W＇0＜W0，即有聚焦作用。
2．L一定时，W＇0随f＇而变化的情况。当W0和L一定时，按（18－22）式，W＇0随f＇而变化的情况大体如图18－11所示。从图中可以看出，对一定的L值，只有当其焦距f＇＜R（L）／2时，透镜才能对高斯光束起聚焦作用，f＇愈小，聚焦效果愈好。图中R（L）表示高斯光束到达透镜表面上的波阵面的曲率半径。
总之，为使高斯光束获得良好聚焦，通常采用短焦距透镜，使高斯光束束腰远离透镜焦点或采取L＝0等方法。
图18－11
三、高斯光束的准直
在许多实际应用中经常需用光学系统来改善光束的方向性，即要压缩光束的发散角。这就是所谓的准直。
1．单透镜对高斯光束的准直。按（18－16）式，腰斑大小为W0的物高斯光束的发散角为：
2θ=2λ/πW0 （18－28）
通过焦距为f＇的透镜后，像高斯光束的发散角为：
2θ＇=2λ/πW＇0 (18-29)
由（18－28）和（18－29）式看出，当W＇0＞W0时将有2θ＇＜2θ，因此W＇0愈大，则2θ＇愈小，有较好准直效果。
根据（18－26）式可知，当L＝f＇时，W＇0达到极大值，则：
W＇0＝λ/πW0f＇ （18－30）
此时 2θ＇=2λ/πW＇0=2W0/f＇（18－1）
由上式可知，当透镜的焦距f＇一定时，若入射高斯光束的束腰处在透镜前焦面上（L＝f＇），则2θ＇达到极小，且f＇愈大，即透镜焦距愈长，2θ＇愈小，准直效果愈好。同时也与W0的大小有关，W0愈小，则像高斯光束方向性愈好。
2．利用望远镜将高斯光束准直。从（18－31）式可得到启示：在L＝f＇的条件下，像高斯光束的方向性不但与f＇的大小有关，而且也与W0的大小有关。f＇愈长，W0愈小，则像高斯光束方向性愈好。因此，如果预先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，以便获得极小腰斑，然后再用一个长焦距的透镜来改善其方向性就可获得很好的准直效果。
按图18－12所示方式组合为一望远镜系统，只不过倒装使用而已。图中L1为一短焦距透镜（称为副镜），高斯光束通过它获得一极小腰斑（W＇0）正好落在长焦距透镜L2（称为主镜）的前焦面上，所以腰斑为W＇0的高斯光束将被L2很好地准直。
其准直倍率可定义为：
M＇=2θ/2θ＂=M(1+(λL/πW02)2)1/2 （18－32）
其中M=f2＇f1＇称望远镜的压缩比。
从（18－32）式可知，望远镜对高斯光束的准直倍率M＇不仅与望远镜本身结构参数有关，而且还与入射高斯光束的W0、L有关。
实际的准直望远镜可以做成透射式、反射式或折－反射式，其基本工作原理都是一样的。
图18－12
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